Question

请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m²、100元/m²，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？

Answer 1

分析：（法一）以角为参数，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈(0，

π

4

)，则可得该仓库的侧面总造价，利用导数求最值；
（法二）以高为参数，设圆锥的高为xm，且x∈（0，5），则可得该仓库的侧面总造价，利用导数求最值．

解答：解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈(0，

π

4

)，
则该仓库的侧面总造价y=[2π×5×5(1-tanθ)]×100+[

1

2

×2π×5×

5

cosθ

]×400=50π(3+

2-sinθ

cosθ

)，
由y′=50π(

2sinθ-1

cos2θ

)=0得sinθ=

1

2

，即θ=

π

6

，
经检验得，当θ=

π

6

时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为

5 3

3

m．
（法二）设圆锥的高为xm，且x∈（0，5），
则该仓库的侧面总造价y=[2π×5×5(1-x)]×100+[

1

2

×2π×5×

x2+25

]×400=150π+10π(2

x2+25

-x)，
由y′=10π(

2x

x2+25

-1)=0得x=

5 3

3

，
经检验得，当x=

5 3

3

时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为

5 3

3

m．

点评：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．