Question

数列{a_n}满足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），S_n为数列{

1

an

}的前n项和，则S₂₀₁₂∈（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：由已知a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），可得a_n+1-a_n＞0，得到数列{a_n}单调递增．再变形为a_n+1-1=a_n（a_n-1），即

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，也即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．利用“裂项求和”可得m，再利用其单调性即可得出S₂₀₁₂所属于的区间．

解答：解：∵a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），∴an+1-an=(an-1)2＞0，∴a_n+1＞a_n，∴数列{a_n}单调递增．
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1）＞0，
∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

an-1

-

1

an+1-1

)
=

1

a1-1

-

1

an+1-1

．
∴S2012=

1

3 2 -1

-

1

a2013-1

=2-

1

a2013-1

．
∵a1=

3

2

，∴a2=(

3

2

)2-

3

2

+1=

7

4

，∴a3=(

7

4

)2-

7

4

+1=

7

4

×

3

4

+1=

21

16

+1＞2，
∴a₂₀₁₃＞a₃＞2，∴0＜

1

a2013-1

＜1，∴1＜2-

1

a2013-1

＜2．
∴S₂₀₁₂∈（1，2）．
故选B．

点评：本题考查了通过恰当变形转化为“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．