Question

8．已知奇函数f（x）=$\frac{1+m•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$的定义域为[-1，1]，则m=-1；f（x）的值域为[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 根据条件知f（x）在原点有定义，并且为奇函数，从而f（0）=0，这样即可求出m=-1，分离常数得到$f（x）=-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}$，根据解析式可以看出x增大时，f（x）减小，从而得出该函数在[-1，1]上单调递减，从而f（1）≤f（x）≤f（-1），这样便可求出f（x）的值域．

解答 解：f（x）为奇函数，在原点有定义；
∴f（0）=0；
即$\frac{1+m}{1+1}=0$；
∴m=-1；
$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=\frac{-（1+{2}^{x}）+2}{1+{2}^{x}}=-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}$；
x增大时，1+2^x增大，∴f（x）减小；
∴f（x）在[-1，1]上单调递减；
∴f（1）≤f（x）≤f（-1）；
即$-\frac{1}{3}≤f（x）≤\frac{1}{3}$；
∴f（x）的值域为$[-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}]$．
故答案为：-1，[$-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$]．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，f（0）=0，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据单调性求函数的值域．