Question

（2010•邯郸二模）抛物线x²=4（y-m）与圆x²+y²=1相交于第一象限的P点，且在P点处两曲线的切线互相垂直，则m=

2 -1

2

．

Answer 1

分析：设出交点坐标，分别求出向量，利用抛物线方程及圆的方程，组成方程组，即可求得m的值．

解答：解：设交点P（a，b），则a²+b²=1…①，a²=4（b-m）…②
∵在P点处两曲线的切线互相垂直，∴抛物线在P点处的切线必过圆心，
∴切线斜率为k=

b

a

；
又由导数（抛物线的）几何意义k=0.5a，从而

b

a

=0.5a…③
由①③可得b=

2

-1，a2=2

2

-2
代入②可得m=

-1± 2

2

．
将③a²=2b代入②得：b=2m，所以4m=a²≥0，
所以：m=

2 -1

2

故答案为：

2 -1

2

点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．