Question

点A、B是双曲线

x2

4

-

y2

5

=1右支上的两点，AB中点到y轴的距离为4，则AB的最大值为

8

．

Answer 1

分析：设双曲线的右焦点为F，则|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时，AB取得最大值．因此只需要求|AF|+|BF|的值即可．

解答：解：设双曲线的右焦点为F，则|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时，AB取得最大值．
设A到准线的距离为d₁，B到准线的距离为d₂，则
由双曲线的第二定义可得|AF|=ed₁=

3

2

d1，|BF|=ed₂=

3

2

d2
∵AB中点到y轴的距离为4，双曲线

x2

4

-

y2

5

=1的右准线方程为x=

4

3

∴d1+d2=2(4-

4

3

)=

16

3

∴|AF|+|BF|=

3

2

d1+

3

2

d2=

3

2

×

16

3

=8
∴AB的最大值为8
故答案为：8

点评：本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的第二定义，考查弦的最大值，解题的关键是利用|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时，AB取得最大值