Question

已知点A，B是双曲线x2-

y2

2

=1上的两点，O为原点，若

OA

•

OB

=0，则点O到直线AB的距离为

2

．

Answer 1

分析：利用向量的垂直与坐标的关系、点到直线的距离公式及直线与圆锥曲线相交问题的解题模式即可得出．

解答：解：设直线AB的方程为my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵my₁=x₁+t，my₂=x₂+t，∴x₁x₂=（my₁-t）（my₂-t）=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2=0，
∴(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0．（*）
联立

my=x+t x2- y2 2 =1

，消去x得到关于y的一元二次方程：2（my-t）²-y²=2，
化为（2m²-1）y²-4mty+2t²-2=0（2m²-1≠0）．
∵直线BA与此双曲线有两个不同的交点，∴△＞0．
由根与系数的关系得y₁+y₂=

4mt

2m2-1

，y₁y₂=

2t2-2

2m2-1

，代入（*）得

(m2+1)(2t2-2)

2m2-1

-

4m2t2

2m2-1

+t2=0，
化为t²=2（m²+1）．
∴点O到直线AB的距离d=

|t|

m2+1

=

2

．
故答案为

2

．

点评：熟练掌握向量的垂直与坐标的关系、点到直线的距离公式及直线与圆锥曲线相交问题的解题模式是解题的关键．