Question

P为直线x-y+3=0上任一点，一椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为

 

．

Answer 1

分析：要使椭圆长轴最短则椭圆与直线l相切，设出椭圆的标准方程与直线方程联立消去y，根据判别式等于0求得a，则椭圆方程可得．

解答：解：要使椭圆长轴最短
则椭圆与直线l相切
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1
则

y=x+3 x2 a2 + y2 a2-1 =1

化简得（2a²-1）x²+6a²x+10a²-a?=0
∵相切
∴△=（6a²）²-4（2a²-1）（10a²-a?）=0
解得a²=1或a²=5
∵a²＞0  a²-1＞o
∴a²=5
∴椭圆的方程为

x2

5

+

y2

4

=1
故答案为

x2

5

+

y2

4

=1

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．解题时采用了数形结合的方法使问题得到了较快解决．