Question

【题目】如图，直三棱柱的底面为等边三角形，、分别为、的中点，点在棱上，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出平面，可得出，结合，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）由平面得出，利用勾股定理计算出的长，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角的余弦值.

（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，

平面，，

因为为等边三角形，为的中点，所以.

又，所以平面，

平面，所以.

又因为，，所以平面.

又因为平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知平面，所以.

设，则有，即，得.

以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，，，

由，令，可得，，则，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

，

由图形可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.