Question

已知数列的前项和为,且。数列满足，
且，。
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
（3）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）。；（2）18；（3）存在唯一正整数，使得成立。

试题分析：（1）当时, ；
当时, 。
而满足上式。∴。
又即，是等差数列。设公差为d。
又， 解得。
∴  6分
（2）


单调递增，。令，得
。  10分
（3）
①当为奇数时，为偶数。∴，。
②当为偶数时，为奇数。∴，（舍去）。
综上，存在唯一正整数，使得成立。  14分
点评：数列的求和是数列部分的一个重要内容，它往往是数列知识的综合体现，它常用来考查数列的基础知识、基本解题技巧及分析问题、解决问题的能力