Question

【题目】已知椭圆 ： ，右顶点为 ，离心率为 ，直线 ： 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，过 的中点 作垂直于 的直线 ，设 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，且 的中点为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设原点 到直线 的距离为 ，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 得 ．（Ⅱ）由 得 ，
设 ， ，则
故 ．
: ，即 ．
由 得 ，
设 ， ,
则 ，
故 ．
故 = ．
又 ．
所以 = ． 令 ，
则 = ．
【解析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，再设直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，再由二次函数的最值，即可得到范围．