Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

3

，a_n•a_n-1=a_n-1-a_n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=

1

an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

1

nbn

}的前n项和为T_n，证明T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

Answer 1

分析：（I）先由n=1，求出b₁，再由n≥2，求出b_n-b_n-1，由此可求出数列{b_n}的通项公式．
（II）由题设知

1

nbn

=

1

n(n+2)

，Tn=

1

1•3

+

1

2•4

+

1

3•5

++

1

n(n+2)

=

1

2

[

3

2

-(

1

n+1

+

1

n+2

)]=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]
再由

2n+3

(n+1)(n+2)

＞

2n+2

(n+1)(n+2)

=

2

n+2

知

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

＜

1

2

[

3

2

-

2

n+2

]=

3

4

-

1

n+2

．

解答：解：（I）当n=1时，b₁=

1

a1

=3，
当n≥2时，b_n-b_n-1=

1

an

-

1

an-1

=

an-1-an

an•an-1

=1，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴通项公式为b_n=n+2；（5分）
（II）∵

1

nbn

=

1

n(n+2)

，
∴Tn=

1

1•3

+

1

2•4

+

1

3•5

++

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

[

3

2

-(

1

n+1

+

1

n+2

)]
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]
∵

2n+3

(n+1)(n+2)

＞

2n+2

(n+1)(n+2)

=

2

n+2

∴-

2n+2

(n+1)(n+2)

＜-

2

n+2

∴

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

＜

1

2

[

3

2

-

2

n+2

]=

3

4

-

1

n+2

∴Tn＜

3

4

-

1

n+2

．（13分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要注意数列递推式和裂项求和法的灵活运用．