Question

（本小题满分12分）

已知函数

（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

（2）若在定义域上有两个极值点、，证明：

 

Answer 1

【答案】

（1）[，＋∞)（2）

【解析】

试题分析：（1）因为

所以．             

法一：若在(0，＋∞)单调递增，则在(0，＋∞)上恒成立，

，

由于开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。

若在(0，＋∞)单调递减，则在(0，＋∞)上恒成立，

由于开口向上，对称轴为，

故只须解得。

综上，的取值范围是[，＋∞)．

法二：令．当时，，在 (0，＋∞)单调递减．

当时，，方程有两个不相等的正根，

不妨设，

则当时，，

当时，，这时不是单调函数．

综上，的取值范围是[，＋∞)．                            

（2）由（1）知，当且仅当∈(0，)时，有极小值点和极大值点，

且＝，＝．

令，

则当时，＝－＝＜0，在(0，)单调递减，

所以即．         

考点：本小题主要考查导数的应用.

点评：导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具，研究函数的性质时要注意函数的定义域.