Question

直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面积等于12，这样的点P共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：求出P到AB的距离 h=，作与AB平行的直线l，使l与椭圆相切，设直线l的方程为 ，
把l的方程代入椭圆方程化简，由由判别式等于0 解得 k值，从而得到直线l的方程，求出直线l与AB间的距离，
将此距离和h作比较，从而得出结论．
解答：解：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=AB•h，可得P到AB的距离 h=．
作与AB平行的直线l，使l与椭圆相切，设直线l的方程为 ，
把l的方程代入椭圆方程化简可得 x²-4kx+8k²-8=0，由判别式等于0 解得 k=，或 k=-，
故直线l的方程为 ，或 ．
因为 与AB的距离为  =＜，
与AB的距离为  =＞．故这样的点P共有 2个，
故选 B．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两平行线间的距离公式，得到与AB平行的且与椭圆相切的切线l 的方程，是解题
的关键．