Question

（本小题满分14分）正方体，，E为棱的中点．
(Ⅰ) 求证：；  (Ⅱ) 求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

(Ⅰ)证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；
（3）．　 ．

本试题主要是考查线线的垂直和线面的平行，以及棱锥的体积的求解综合运用。
（1）结合线面垂直的性质定理和判定定理的综合运用，求证线线垂直。
（2）利用线面平行的判定定理得到证明。
（3）先求解底面的面积，结合锥体的高，得到三棱锥体积。
解：  (Ⅰ)证明：连结，则//，  
∵是正方形，∴．∵面，∴．
又，∴面．   ∵面，∴，
∴． ………5分
（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．
∵是的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，∴ ．
∵是的中点，∴，
又，∴．
∴四边形是平行四边形，//，
∵，，
∴平面面． 
又平面，∴面． ………10分
（3）．　 ． ………14分