Question

己知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，当n≥2时，S_n-1+1，a_n，S_n+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2×3n

Sn•Sn+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及已知可得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出S_n，即可得出b_n，再利用“裂项求和”即可得出T_n，进而得出m．

解答：解：（1）当n≥2时，2a_n=S_n-1+1+S_n+1…①
∴2a_n+1=S_n+1+S_n+1+1…②
②-①化简得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an=2×3n-1．
（2）由数列{a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴Sn=

2×(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1．
∴bn=

2×3n

Sn•Sn+1

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，
∴Tn=

1

2

-

1

3n+1-1

＜

1

2

，

m

20

≥

1

2

恒成立，所以最小正整数m的值为10．

点评：本题综合考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于难题．