Question

15．在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=2且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$），求数列{b_n}的前2n-1项的和T_2n-1．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₁=2且a₁、a₂、a₄成等比数列，可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$）=$（-1）^{n+1}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，利用“累加求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a₁=2且a₁、a₂、a₄成等比数列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，即（2+d）²=2（2+3d），化为d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$）=$（-1）^{n+1}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前2n-1项的和T_2n-1=$（1+\frac{1}{2}）$-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-$（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{2n-2}+\frac{1}{2n+1}）$+$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}）$=1+$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“累加求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．