题目内容

直线y=
4
3
x+m与双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的交点个数是（　　）
分析：作出双曲线的图象，根据该直线与渐近线的位置关系及双曲线性质可判断交点个数．
解答：解：作出双曲线如下图所示：

易求双曲线的渐近线方程为：y=±
4
3
x，
当m=0时，直线y=
4
3
x+m为其中一条一渐近线，显然与双曲线无交点；
当m≠0时，直线y=
4
3
x+m与其一渐近线平行，由双曲线的性质知此时直线y=
4
3
x+m与双曲线有一个交点，
故直线y=
4
3
x+m与双曲线的交点个数有一个或0个，
故选D．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以抛物线y2=4
3
x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
1
mn
y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．
已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=
4
3
x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P、A2P分别与直线l：x=
9
5
交于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：
FM
•
FN
为定值．
已知A（3，0）及双曲线E：
x2
9
-
y2
16
=1，若双曲线E的右支上的点Q到点B（m，0）（m≥3）距离的最小值为|AB|．
（1）求m的取值范围，并指出当m变化时B的轨迹C
（2）如（图1），轨迹C上是否存在一点D，它在直线y=
4
3
x上的射影为P，使得
AP
•
OD
=
OP
•
PD
？若存在试指出双曲线E的右焦点F分向量
AD
所成的比；若不存在，请说明理由．
（3）（理）当m为定值时，过轨迹C上的点B（m，0）作一条直线l与双曲线E的右支交于不同的两点（图2），且与直线y=
4
3
x，y=-
4
3
x分别交于M、N两点，求△MON周长的最小值．
直线y=
4
3
x+m与双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的交点个数是（　　）
A．0B．1
C．2D．视m的值而定

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