Question

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=

4

3

x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A₁A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P、A₂P分别与直线l：x=

9

5

交于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：

FM

•

FN

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，根据题意可得关于a、b的方程组，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得A₁、A₂、F的坐标，设P（x，y）、M（

9

5

，y0），易得向量

A1P

=(x+3，y)，

A1M

=(

24

5

，y0)，又由共线向量的坐标运算，可得M的坐标，进而可得N的坐标，
由此可得：

FM

与

FN

的坐标，即可得

FM

•

FN

=

256

25

-

144

25

•

y2

x2-9

；结合双曲线的方程，代换可得证明．

解答：解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
则

b a = 4 3 c=5 c2=a2+b2

?

a=3 b=4

∴所求双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），设P（x，y），M（

9

5

，y0），

A1P

=(x+3，y)，

A1M

=(

24

5

，y0)，
∵A₁、P、M三点共线，
∴(x+3)y0-

24

5

y=0∴y0=

24y

5(x+3)

即M(

9

5

，

24y

5(x+3)

)，
同理得N(

9

5

，-

6y

5(x-3)

)，

FM

=(-

16

5

，

24y

5(x+3)

)，

FN

=(-

16

5

，-

6y

5(x-3)

)，
则

FM

•

FN

=

256

25

-

144

25

•

y2

x2-9

∵

x2

9

-

y2

16

=1，
∴

y2

x2-9

=

16

9

；
∴

FM

•

FN

=

256

25

-

144

25

•

16

9

=

256

25

-

256

25

=0，即

FM

•

FN

=0（定值）

点评：本题考查双曲线的有关性质，（Ⅱ）的证明运用了坐标法，结合向量的数量积的运算，是典型的解析几何方法，需要加强训练．