Question

等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①数列{（

1

2

） an}为等比数列；
②若a₂+a₇+a₁₂=9，则S₁₃=39；
③Sn=nan-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，则S_n一定有最小值．
其中真命题的序号是

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：利用等差数列的通项公式和等比数列的定义能判断①的正误；利用等差数列的通项公式和前n项和公式能判断②和③的正误；利用等差数列的前n项和公式和二次函数的性质能判断④的正误．

解答：解：∵等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴(

1

2

)an=(

1

2

)a1+(n-1)d，
∴

( 1 2 )an+1

( 1 2 )an

=

( 1 2 )a1+nd

( 1 2 )a1+(n-1)d

=（

1

2

）^d，
∴数列{（

1

2

） an}为等比数列，即①正确；
∵a₂+a₇+a₁₂=9，
∴3a₇=9，即a₇=3，
∴S₁₃=

13

2

(a1+a13)=13a₇=39，即②正确；
∵na_n-

n(n-1)d

2

=n[a1+(n-1)d]-

n(n-1)

2

d
=na1+n(n-1)d-

n(n-1)

2

d
=na1+

n(n-1)d

2

=S_n，即③正确；
∵Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
∴若d＞0，则S_n一定有最小值，即④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质及应用，解题时要灵活运用二次函数的性质，是基础题．