Question

在平面直角坐标系xoy中，点P到两点、的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（1）求出曲线C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面积；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系和弦长公式，即可求得此时|AB|的值，再由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式进行求解；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求出两根之和与积，再由A、B在椭圆上和向量模的公式代入进行化简，根据点A位置和k的范围，判断式子的符号进行证明．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆，
则它的短半轴 ，
∴曲线C的方程为 ．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足 ，
消去y并整理得5x²+2x-3=0，故，
∴|AB|===，
∵点O（0，0）到直线l：y=x+1的距离d==，
∴△AOB的面积S=×|AB|×d==；
（Ⅲ）设设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足，
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故，
∵A（x₁，y₁）在椭圆上，∴满足y²=4（1-x²），即y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），
∴=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=．
∵A在第一象限，故x₁＞0，由 知x₂＜0，从而x₁-x₂＞0．
又∵k＞0，
∴，
即在题设条件下，恒有 ．
点评：本题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，难点在与计算量较大，平时应加大训练的力度与方向性．