Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若A₁A=3，求点B到平面B₁CA的距离．

Answer 1

分析：（1）取BC中点M，连接B₁M，则B₁M⊥面ABC，从而面BB₁C₁C⊥面ABC，进一步可得AC⊥面BB₁C₁C，从而可证面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁；
（2）利用VB-B1CA=VB1-ABC，可求点B到平面B₁CA的距离．

解答：（1）证明：取BC中点M，连接B₁M，则
∵B₁在底面内的射影恰好是BC的中点
∴B₁M⊥面ABC，
∵B₁M?面BB₁C₁C
∴面BB₁C₁C⊥面ABC
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC
∴AC⊥面BB₁C₁C
∵AC?面ACC₁A₁
∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁
（2）解：设点B到平面B₁CA的距离为h，
∵VB-B1CA=VB1-ABC，
∴

1

3

(

1

2

×2×3)h=

1

3

(

1

2

×2×2)×2

2

∴h=

4 2

3

即点B到平面B₁CA的距离为

4 2

3

点评：本题考查面面垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面、面面垂直的判定与性质，正确运用三棱锥的体积公式．