题目内容

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC= $数学公式$ ，若球O的体积为 $数学公式$ ，则这个直三棱柱的体积等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

B
分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A₁B₁C₁的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O₁A=1，由球O的体积算出OA= $\text{[math]}$ ，然后在Rt△O₁OA中，用勾股定理算出O₁O=2，得三棱柱的高O₁O₂=4，最后算出底面积S_△ABC= $\text{[math]}$ ，可得此直三棱柱的体积．
解答：

设△ABC和△A₁B₁C₁的外心分别为O₁、O₂，连接O₁O₂，
可得外接球的球心O为O₁O₂的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C
△ABC中，cosA= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∵A∈（0，π），∴A= $\text{[math]}$
根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O₁A= $\text{[math]}$ =1
∵球O的体积为V= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴OA=R= $\text{[math]}$
Rt△O₁OA中，O₁O= $\text{[math]}$ =2，可得O₁O₂=2O₁O=4
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•ACsin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为S_△ABC×O₁O₂= $\text{[math]}$
故选：B
点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．