Question

如图，在四棱锥中，侧面底面,,为中点，底面是直角梯形，,，,．

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)详见试题解析；(3) ．

【解析】

试题分析：(1)转化为线线平行：在平面内找的平行线；或转化为面面平行，经过找与平面平行的平面；(2) 转化为线面垂直，可先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证得结果；(3)首先建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面和平面的法向量，利用夹角公式列方程可求得的值．

试题解析：令中点为，连接，     １分

点分别是的中点，

,.

四边形为平行四边形.     ２分

,平面,

平面                 ３分

(三个条件少写一个不得该步骤分)    

 　　　　        ４分

（2）在梯形中,过点作于,

在中，,.

又在中，,,

, 

. 　　　　　　     ５分

面面,面面,,面,

面, 　　　　　　　　　　　　　     ６分

,　                                    7分

,平面,平面

平面, 　　　　　　　　　　　　　     8分

平面,　　　　　　　　　　　　　

平面平面 　　　　　　　　　　     9分

(３)以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．    １０分

则.

令，，

。

平面，

即平面的法向量

．　　　　　　　    １１分

设面的法向量为

则,即．

令，得．    １２分

二面角为，

，解得．    １３分

在上，，为所求．　　　　　　　　    １４分

考点：1、空间线面位置关系的证明；2、二面角的求法；3、空间向量的应用．