Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）=8，得k=40，
因此．
而建造费用为C₁（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令f '（x）=0，即．
解得x=5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f '（x）＜0，当5＜x＜10时，f '（x）＞0，
故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．