Question

已知双曲线x²- =1与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点.

(1)求直线AB的方程;

(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.

Answer 1

(1)解析:设过P(1,2)点的直线AB的方程为?y-2=k(x-1),??

代入双曲线方程并整理,得(2-k²)x²+(2k²-?4k)x-?(k²-4k+6)=0.?

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),?

则x₁+x₂=-.?

由已知=1,

∴=2,解得k=1.

又k=1时,Δ=(2k²-4k)²+4(2-k²)(k²-4k+6)=16>0,?

∴直线AB的方程为x-y+1=0.

(2)证明:设过Q(1,1)点的直线方程为y-1=k(x-1),

代入双曲线方程并整理,得(2-k²)x²-2k(1-k)x-(k²-2k+3)=0.①?

由题知=2,解得k=2.?

而当k=2时,Δ=［-2k(1-k)］²+4(2-k²)(k²-2k+3)=-8<0,方程①无解.?

∴这样的直线不存在.