题目内容

在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设 $数学公式$ 则4x+y的最小值是________．

$\text{[math]}$
分析：用 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，可得 $\text{[math]}$ ，且λ＜0，解出 x= $\text{[math]}$ ，
y= $\text{[math]}$ ，使用基本不等式求出 4x+y 的最小值．
解答：由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
同理可得 $\text{[math]}$ =（y- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．由于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，∴ $\text{[math]}$ ，且λ＜0．
∴（x- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =λ[（y- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]，∴x- $\text{[math]}$ =λ（- $\text{[math]}$ ），且- $\text{[math]}$ =λ（y- $\text{[math]}$ ），
故 x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，
∴4x+y=1-λ+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（-λ）+ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当 λ=- $\text{[math]}$ 时，等号成立，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查平面向量基本定理，基本不等式的应用，解出x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，是解题的关键，属于中档题．