题目内容

直线 $数学公式$ 与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点 $数学公式$ ，使得△ABP和△ABC面积相等，则m的值

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：根据题意画出图形，令直线方程中x与y分别为0，求出相应的y与x的值，确定出点A与B的坐标，进而求出AB的长即为等边三角形的边长，求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离，由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C与点P到直线AB的距离相等，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB的距离d，让d等于求出的高列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解答：

解：根据题意画出图形，如图所示：
由直线 $\text{[math]}$ ，令x=0，解得y=1，故点B（0，1），
令y=0，解得x= $\text{[math]}$ ，故点A（ $\text{[math]}$ ，0），
∵△ABC为等边三角形，且OA= $\text{[math]}$ ，OB=1，
根据勾股定理得：AB=2，故点C到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，
由题意△ABP和△ABC的面积相等，
则P到直线AB的距离d= $\text{[math]}$ |- $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，即- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2或- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =-2，
解得：m=- $\text{[math]}$ （舍去）或m= $\text{[math]}$ ．
则m的值为 $\text{[math]}$ ．
故选A
点评：此题考查了一次函数的性质，等边三角形的性质以及点到直线的距离公式．学生做题时注意采用数形结合的思想及转化的思想的运用，在求出m的值后要根据点P在第一象限舍去不合题意的解．