Question

求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)=0， 令m=0，得x－3y－11=0；令m=1，得x＋4y＋10=0． 解方程组得两直线的交点为(2，－3)． 将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得 (2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)=4m－2－3m－9－m＋11=0． 这表时不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 证法2：将已知方程以m为未知数，整理为和． 由于m取值的任意性，有解得 所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3)． 题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程．要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点． 另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．