题目内容
已知函数f（x）=
x2+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）已知函数f（x）=x2+alnx，则导数
函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：
，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=-2，b=-2ln2
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量得
a≥-x2，而（-x2）在x∈（1，+∞）恒小于-1，即得a≥-1
故a的取值范围为：a≥-1．
分析：（Ⅰ）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：，f（2）=2+aln2=2+b，可解ab的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量可求a的范围．
点评：本题为导数与函数的综合应用，正确理解在某点处的切线斜率即是改点的导数值是解决问题的关键，属中档题．
x2+alnx，则导数函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：
，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=-2，b=-2ln2（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则
≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量得a≥-x2，而（-x2）在x∈（1，+∞）恒小于-1，即得a≥-1
故a的取值范围为：a≥-1．
分析：（Ⅰ）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：
，f（2）=2+aln2=2+b，可解ab的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则
≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量可求a的范围．点评：本题为导数与函数的综合应用，正确理解在某点处的切线斜率即是改点的导数值是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|