题目内容
已知△ABC中，
=
，
=
．对于平面ABC上任意一点O，动点P满足
=
+λ
+λ
，λ∈[0，+∞）．试问动点P的轨迹是否过某一个定点？说明理由．
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| OP |
| OA |
| a |
| b |
分析：利用向量的相关知识，和条件足
=
+λ
+λ
，λ∈[0，+∞）．得到动点P的轨迹．
| OP |
| OA |
| a |
| b |
解答：
解：以AB、AC为邻边作?ABDC，设对角线AD、BC交于点E，
=
=
（
+
）．
由
=
+λ
+λ
得到
-
=
=2λ•
（
+
）
=2λ
，λ∈[0，+∞），
∴
与
共线．
由λ∈[0，+∞）知道动点P的轨迹是射线AE，所以必过△ABC的重心．
解：以AB、AC为邻边作?ABDC，设对角线AD、BC交于点E，| AE |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
由
| OP |
| OA |
| a |
| b |
| OP |
| OA |
| AP |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
=2λ
| AE |
∴
| AP |
| AE |
由λ∈[0，+∞）知道动点P的轨迹是射线AE，所以必过△ABC的重心．
点评：本题主要考查平面向量的基本定理以及其应用，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
（2009•辽宁）选修4-1：几何证明讲
定义平面向量的正弦积为
•
=|
||
|sin2θ，（其中θ为
、
的夹角），已知△ABC中，
•
=
•
，则此三角形一定是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| AB |
| BC |
| BC |
| CA |
| A、等腰三角形 |
| B、直角三角形 |
| C、锐角三角形 |
| D、钝角三角形 |