Question

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f_n′（x），且满足：f2′[x1+

1

λ

(x2-x1)]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，λ，x1，x2为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）若g_n（x）=e^x•f_n（x），试证明关于x的方程

gn′(1+x)

gn+1′(1+x)

=

λn-1

λn+1-1

在区间（0，2）上有唯一实数根；记此实数根为x（n），求x（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用求导公式求函数的导数，令n=2，代入等式求λ；
（2）利用导数公式求函数的导数，画图求函数的单调性，根据导数求极值；
（3）利用导数求导和利用数学归纳法，在当a=1时和当a≥2时的条件下证明．

解答：解：（1）f₂′（x）=2x，∴2[x₁+

1

λ

（x₂-x₁）]=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

∴x₂+x₁=2x₁+

2

λ

（x₂-x₁）?λ=2
（2）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=x^2n-1•（1-x）ⁿ，则
①当n=1时，y=x-x²，y′=1-2x，令y′=0，得x=

1

2

，x∈（-∞，

1

2

），y′＞0
x∈（

1

2

，+∞），y′＜0，所以，当x=

1

2

时，y极大=

1

4

，无极小值；
②当n≥2时，y′=-n（1-x）^n_•x2n-1+（2n-1）x^（2n-2）．（1-x）^n=_x2n-1．（1-x）n[（2n-1）-（3n-1）x]
令y′=0则x₁=0，x₂=

2n-1

3n-1

，x₃=1且x_1^＜x_2^＜x₃
①当n为正偶数时，随x的变化，y′和y的变化如下：
当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2n-1 3n-1 ）	2n-1 3n-1	（ 2n-1 3n-1 ，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值		极小值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

（2n-1）2n-1?6?1nn

（3n-1）3n-1

；当x=1时，y_极小=0．…（7分）

点评：该题考查函数的求导公式，和数学归纳法的使用，注意画图，有点难度