Question

【题目】已知函数，且上的最大值为．

求函数的解析式；

判断在内的零点的个数，并加以证明．

Answer 1

【答案】(1) (2) 函数在内恰有两个零点

【解析】

(1)函数恒成立转化为在上恒成立，即，令，利用函数的导数，求出即可．

(2)，求出导函数，判断函数的单调性，判断函数的零点，通过当时，当时，令，利用函数的导数求解函数的极值，转化求解函数的零点个数即可。

(1)因为，所以，，所以

由题意，在上恒成立，且能取到等号

即在上恒成立，且能取到等号，即

令，则

所以函数在上单调递增，

所以，解得，

所以。

(2)因为

当时，因为，所以函数在上单调递增

因为，所以函数在上有唯一零点

当时，令

因为，所以函数即当时单调递减

又因为，所以存在唯一使

所以当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减

注意到，，所以

所以函数在上没有零点，在上有唯一零点，

由得函数在内恰有两个零点。