Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时,f(x)＜0,f(1)=-.

(1)求证:f(x)是R上的减函数;

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

Answer 1

(1)证明:令x=y=0,f(0)=0,令y=-x可得f(-x)=-f(x).

在R上任取x₁＞x₂,则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f(x₁-x₂).

∵x₁＞x₂,

∴x₁-x₂＞0.

又∵x＞0时f(x)＜0,

∴f(x₁-x₂)＜0,

即f(x₁)-f(x₂)＞0.

由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.

(2)解：∵f(x)在R上是减函数,

∴f(x)在［-3,3］上也是减函数.

∴f(-3)最大,f(3)最小.

f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-)=-2.

∴f(-3)=-f(3)=2,

即f(x)在［-3,3］上最大值为2,最小值为-2.