Question

已知函数f （ x ）=3^x，f （ a+2 ）=18，g （ x ）=λ•3^ax-4^x的义域为[0，1]．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g （ x ）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件f （ a+2 ）=18建立关于a的等量关系，求出a即可
（2）将第一问的a代入得g（x）=λ•2^x-4^x，g （x）在区间[0，1]上是单调递减函数，可利用函数单调性的定义建立恒等关系，分离出λ，求出2^x2+2^x1的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得3^a+2=18⇒3^a=2⇒a=log₃2
（Ⅱ）此时g（x）=λ•2^x-4^x
设0≤x₁＜x₂≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x2-2^x1）（-λ+2^x2+2^x1）≥0成立
∵2^x2-2^x1＞0
∴λ≤2^x2+2^x1恒成立由于2^x2+2^x1≥2+2=2
所以实数λ的取值范围是λ≤2
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题，属于中档题．