Question

已知复数z=sinθ+2i(0≤θ≤

π

2

)，且z-(

2

4

+i)=

1

2

.

z

+2i，求倾斜角为θ并经过点（-6，0）的直线l与曲线y=x²所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：本题首先根据已知复数z=sinθ+2i(0≤θ≤

π

2

)，且z-(

2

4

+i)=

1

2

.

z

+2i，求出角θ；然后写出直线l的方程，再利用定积分即可求出面积．

解答：解：∵z=sinθ+2i，∴

.

z

=sini-2i，
有∵z-(

2

4

+i)=

1

2

.

z

+2i，
∴sinθ+2i-(

2

4

+i)=

1

2

(sinθ-2i)+2i，∴sinθ-

2

4

+i=

1

2

sinθ+i，
∴sinθ=

2

2

，
∵0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

4

，
∴直线l的斜率k=tan

π

4

=1，
又∵直线l过点（-6，0），∴直线l的方程为y=x+6．
联立

y=x+6 y=x2

，解之得x=-2，或x=3．
所要求的面积S=

∫

3 -2

（x+6-x²）dx=（(

1

2

x2+6x-

1

3

x3)

|

3 -2

=

125

6

．

点评：本题综合考查了复数、直线的方程及利用定积分求面积，熟练利用以上有关知识及方法进行计算是解决问题的关键．