题目内容

已知A，B，C是△ABC的三个内角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，向量 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）求角A
（2）若 $数学公式$ ，求b，c．

解：（1）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =cosA- $\text{[math]}$ sinA=-1，得到cosA= $\text{[math]}$ sinA-1，代入sin²A+cos²A=1中得：
sin²A+ $\text{[math]}$ =1，化简得：sinA（2sinA- $\text{[math]}$ ）=0，因为sinA≠0，所以2sinA- $\text{[math]}$ =0即sinA= $\text{[math]}$
因为A∈（0，180°），所以A=60°或120°；
（2）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosA=bccosA=2，因为cosA= $\text{[math]}$ （cosA=- $\text{[math]}$ 舍去），则bc=4①，
而a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4=4，所以b²+c²=8②，联立①②，解得b=2，c=2．
分析：（1）利用平面向量数量积的运算法则化简 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1，得到关于cosA和sinA的关系式，利用同角三角函数间的平方关系化简可得sinA的值，根据A的范围及特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用平面向量数量积的运算法则化简 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2，得到bc=4记作①，然后利用余弦定理表示出a²的关系式，把a的值代入即可得到b²+c²=8记作②，联立①②即可求出b和c的值．
点评：此题考查学生灵活运用平面向量数量积的运算法则化简求值，利用运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，是一道综合题．学生做题时应注意角度的范围，以及理解cosA=- $\text{[math]}$ 舍去的原因是bc＞0．