题目内容

已知O为△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，若 $数学公式$ ，则λ₁+λ₂=________．

$\text{[math]}$
分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ₁和λ₂ 的值．
解答：

解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），AC的斜率为- $\text{[math]}$ ，
∴中垂线n的方程为 y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1， $\text{[math]}$ ），
由条件 $\text{[math]}$ =λ₁ $\text{[math]}$ +λ₂ $\text{[math]}$ ，
得（1， $\text{[math]}$ ）=λ₁（2，0）+λ₂（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=（2λ₁- $\text{[math]}$ λ₂， $\text{[math]}$ λ₂ ），
∴2λ₁- $\text{[math]}$ λ₂=1， $\text{[math]}$ λ₂= $\text{[math]}$ ，∴λ₁= $\text{[math]}$ ，λ₂= $\text{[math]}$ ，∴λ₁+λ₂= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．