Question

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥面ABC，2AC=

3

AB，若四面体P-ABC的体积为

3

2

，则P、C两点间的球面距离为

3

2

п

．

Answer 1

分析：由已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，可判断出∠ACB=90°，再由2AC=

3

AB，可计算出△ABC的面积，再由PO⊥面ABC，及四面体P-ABC的体积为

3

2

，可求出其外接球的半径，进而可求出P、C两点间的球面距离．

解答：解：由已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，
∴线段AB是外接球的直径，且∠ACB=90°，
由2AC=

3

AB，∴sin∠ABC=

AC

AB

=

3

2

，∴∠ABC=60°，
设外接球的半径为R，则AC=

3

R，BC=R，∴S△=

1

2

AC×BC=

3

2

R2．
已知PO⊥面ABC，∴四面体P-ABC的高h=R．
∵四面体P-ABC的体积为

3

2

，∴

1

3

×

3

2

R2×R=

3

2

，∴R=

3

．
又PO⊥面ABC，弧PC所对的大圆的中心角为

π

2

，
∴P、C两点间的球面距离为

3

2

π．
故答案为

3

2

．

点评：本题综合考查了四面体的体积、外接球及球面距离，其关键是掌握好有关的计算公式．