Question

在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，-1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F，且=4.

（1）求点C的轨迹方程；

（2）若，①试确定点F的坐标；②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想.

Answer 1

解：（1）如图，设点C（x,y）(x≠0)、E（x_E,0）.F(x_F,0)，

由A、C、E三点共线，,

x_E=，同理由B、C、F三点共线可得x_F=.

∵=4，

∴x_E·x_F=·=4化简得C的轨迹方程为x²+4y²=4(x≠0).

（2）若，①设F（x_F,0）,C(x_c,y_c),

∴(x_c,y_c+1)=-8(x_F-x_c,-y_c),

∴x_c=x_F,y_c=,代入x²+4y²=4得

x_F=±,

∴点F（±3，0），即为椭圆的焦点.

②猜想：取F（，0），设F₁（-，0）是左焦点，则当点P位于直线BF₁与椭圆的交点处时，△PBE周长最大为8.证明如下：

∵|PF|+|PB|=4-|PF₁|+|PB|≤4+|BF₁|,

∴△PBF的周长≤4+|BF₁|+|BF|=8.