Question

【题目】设各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，公比大于1的等比数列满足， .

（1）求证数列是等差数列，并求其通项公式；

（2）若，求数列的前n项和；

（3）在（2）的条件下，若对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析， ；(2) ；(3) .

【解析】试题分析：

(1)结合函数的递推公式可证得数列是首先为1，公差为2的等差数列，其通项公式为；

(2)错位相减可得数列的前n项和为；

(3)由题意可得数列单调递减，据此得到关于实数t的不等式，求解不等式可得实数t的取值范围是.

试题解析：

(1) 当时，，，

，所以，.

因为当时，是公差的等差数列，

，，

则是首项，公差的等差数列，

所以数列的通项公式为.

(2)由题意得， ；

则前n项和；

；

相减可得

；

化简可得前n项和；

（3）对一切正整数n恒成立，

由，

可得数列单调递减,即有最大值为，

则 解得或 .

即实数t的取值范围为.