Question

平面内到定点（1，0）和到定点（4，0）的距离的比为

1

2

的点的轨迹为曲线M，直线l与曲线M相交于A，B两点，若在曲线M上存在点C，使

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，且

a

=(-1，2)，求直线l的斜率及对应的点C的坐标．

Answer 1

分析：设曲线C上的任意一点P（x，y），利用平面内到定点（1，0）和到定点（4，0）的距离的比为

1

2

，可得

(x-1)2+y2

=

1

2

(x-4)2+y2

，从而可求曲线C的方程；利用

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，且|

OA

|=|

OB

|，可得

AB

⊥

OC

，

OC

∥

a

，从而可求直线l的斜率，设C（x₀，y₀），利用

x02+y02=4 x0：y0=1：2

，可求对应的点C的坐标为．

解答：解：设曲线C上的任意一点P（x，y），则

(x-1)2+y2

=

1

2

(x-4)2+y2

，
化简可得曲线C的方程为x²+y²=4．…（4分）
∵

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，且|

OA

|=|

OB

|
∴

AB

⊥

OC

，

OC

∥

a

∵

a

=(-1，2)
∴kAB=

1

2

                                  …（8分）
设C（x₀，y₀），由

x02+y02=4 x0：y0=1：2

，解得

x0= 2 5 5 y0=- 4 5 5

或

x0=- 2 5 5 y0= 4 5 5

∴直线l的斜率为

1

2

，对应的点C的坐标为(

2 5

5

，-

4 5

5

)或(-

2 5

5

，

4 5

5

)．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，考查直线的斜率，解题的关键是掌握轨迹方程的一般求法．