Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°＋cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°＋cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°＋cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²(-18°)＋cos²48°-sin(-18°)cos48°；
⑤sin²(-25°)＋cos²55°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）选择（2），由sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．
证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 ，
即，化简可得结果.
试题解析：法一：(1)选择②式，计算如下：
         4分
(2)三角恒等式为    6分
证明如下：



              12分
法二：(1)同法一．
(2)三角恒等式为
证明如下：




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考点：1.分析法和综合法；2.归纳推理．.