题目内容
设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当n＞m＞0时，（1+n）m＜（1+m）n；
（Ⅲ）证明：当n＞2012，且x1，x2，x3，…，xn∈R+，x1+x2+x3+…+xn=1时，
（1）
…
（2）
…
．
【答案】分析：（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0或小于0，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=
，求导数g'（x）=
，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，从而可得
＜
，由此可得结论；
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可得
…
；（2）由（1）得：
…
≥
．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，从而有（
）
＞（
）
，结合放缩法即可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）设g（x）=
，
则g'（x）=
．…（6分）
由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，
而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得
＜
，
得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可知，
…
=
…
[（1+x1）+…+（1+xn）]×
≥
+
+…+
×
=（x1+x2+x3+…+xn）2=
，
所以
…
，…（11分）
（2）由（1）得：
…
≥
．
又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，
即（1+n）
＜（1+2012）
，即（
）
＞（
）
．
则
…
≥（
）
＞（
）
．
故
…
＞（
）
．…（14分）
点评：本题考查了函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等，在证明不等式时，注意采用什么形式，选择一种合适的写法．
（Ⅱ）设g（x）=
，求导数g'（x）=，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，从而可得＜，由此可得结论；（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可得
…；（2）由（1）得：…≥．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，从而有（）＞（），结合放缩法即可证得结论．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0时，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）设g（x）=
，则g'（x）=
．…（6分）由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）单调递减，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，
而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得
＜，得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可知，
…=…[（1+x1）+…+（1+xn）]×≥
++…+×=（x1+x2+x3+…+xn）2=，所以
…，…（11分）（2）由（1）得：
…≥．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，
即（1+n）
＜（1+2012），即（）＞（）．则
…≥（）＞（）．故
…＞（）．…（14分）点评：本题考查了函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，题目难度中等，在证明不等式时，注意采用什么形式，选择一种合适的写法．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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