Question

15．已知函数f（x）=e^x-x²-ax．
（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1-a=2，求得a=-1．得到f（x）=e^x-x²+x，再由f（0）=1求得b值；
（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e^x-2x-a≥0恒成立，∴a≤e^x-2x恒成立．令h（x）=e^x-2x，利用导数求其最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x²-ax，∴f′（x）=e^x-2x-a，则f′（0）=1-a．
由题意知1-a=2，即a=-1．
∴f（x）=e^x-x²+x，则f（0）=1．
于是1=2×0+b，b=1．
（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e^x-2x-a≥0恒成立，∴a≤e^x-2x恒成立．
设h（x）=e^x-2x，则h′（x）=e^x-2．
∴当x∈（-∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．
∴h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2．
∴a≤2-2ln2，即a的最大值为2-2ln2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．