Question

已知f（x）=x+

1

x

（1）证明函数f（x）的图象关于原点对称；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）求得f（x）=x+

1

x

 的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
可得函数为奇函数，此函数的图象关于原点对称．
（2）设x₂＞x₁＞1，计算f（x₂）-f（x₁）=[x₂+

1

x2

]-[x₁+

1

x1

]＞0，可得函数f（x）在（1，+∞）
上单调性递增．

解答：解：（1）由于f（x）=x+

1

x

 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
且满足f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
故函数为奇函数，故此函数的图象关于原点对称．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上单调性递增．
证明：设x₂＞x₁＞1，由于f（x₂）-f（x₁）=[x₂+

1

x2

]-[x₁+

1

x1

]
=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）•[1-

1

x1•x2

]．
由题设可得（x₂-x₁）＞0，且1-

1

x1•x2

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函数f（x）在（1，+∞）上单调性递增．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．