Question

已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2。
（1）若直线l与圆O相切，求k的值；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点。

Answer 1

解：（1）由圆心O到直线l的距离
可得k=±1。
（2）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
将直线l：y=kx-2代入x²+y²=2，
整理，得（1+k²）·x²-4kx+2=0，
所以
Δ=（-4k）²-8（1+k²）>0，即k²>1
当∠AOB为锐角时，
则

可得k²＜3，
又因为k²>1，
故k的取值范围为或。
（3）设切点C，D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
动点P的坐标为（x₀，y₀），则过切点C的切线方程为：x·x₁+y·y₁=2，
所以x₀·x₁+y₀·y₁=2
同理，过切点D的切线方程为：x₀·x₂+y₀·y₂=2，
所以过C，D的直线方程为：x₀·x+y₀·y=2
又，将其代入上式并化简整理，
得，而x₀∈R，
故且-2y-2=0，可得，y=-1，
即直线CD过定点。