Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极限值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在x=2处有极值得，f'（2）=0，f（x）图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，得f'（1）=-3，联立方程组解出即可；
（2）在x∈[1，3]内，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等价于f（x）_min＞1-4c²，利用导数易求得函数f（x）在[1，3]上的最小值；

解答：解：（1）∵f（x）=x³+3ax²+3bx+c，∴f'（x）=3x²+6ax+3b，
∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=12+12a+3b=0，①
又∵f（x）图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴f'（1）=3+6a+3b=-3，②
联立①②解得  a=-1，b=0；
（2）在x∈[1，3]内，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等价于f（x）_min＞1-4c²，
由f'（x）=3x²-6x=0，解得x=0或x=2，
又∵f（2）=c-4，f（1）=c-2，f（3）=c，
∴f（x）_min=c-4，
∴c-4＞1-4c²，解得c的取值范围为c＜-

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或c＞1．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值及曲线上某点切线方程，考查函数恒成立问题，恒成立问题的常用解决方法是转化函数最值处理．