Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小．

Answer 1

分析：方法一（综合法）
（Ⅰ）取OB中点E，连接ME，NE．利用三角形的中位线定理和菱形的性质可得ME∥CD，NE∥OC，利用面面平行的判定定理得到平面MNE∥平面OCD，进而得到MN∥平面OCD．
（Ⅱ）由于CD∥AB，可得∠MDC或其补角为异面直线AB与MD所成的角．作AP⊥CD于P，连接MP，在△MDP 中求出即可．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO，所在直线为x，y，z轴建立坐标系．
（I）利用MN与平面OCD的法向量垂直即可证明．
（II）利用向量的夹角公式即可得出．

解答：方法一（综合法）
（Ⅰ）取OB中点E，连接ME，NE．
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD．
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC或其补角为异面直线AB与MD所成的角．
作AP⊥CD于P，连接MP，
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP，
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

．
∴AB与MD所成角的大小为

π

3

．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO，所在直线为x，y，z轴建立坐标系．
A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，

2

2

，0)，D(-

2

2

，

2

2

，0)，O(0，0，2)M(0，0，1)，N(1-

2

4

，

2

4

，0)，
（Ⅰ）

MN

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)，

OP

=(0，

2

2

，-2)，

OD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)
设平面OCD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
即 

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

，取z=

2

，解得

n

=(0，4，

2

)，
∵

MN

•

n

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)•(0，4，

2

)=0．
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）设AB与MD所成的角为θ，
∵

AB

=(1，0，0)，

MD

=(-

2

2

，

2

2

，-1)，
∴cosθ=

| AB • MD |

| AB |•| MD |

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，即AB与MD所成角的大小为

π

3

．

点评：本题考查了利用综合法或向量法证明线面平行和异面直线所成的夹角，考查了三角形的中位线定理和菱形的性质、面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的角、线面平行于法向量的关系、向量的夹角公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．