Question

15．如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE是等边三角形，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）若AE=$\sqrt{3}$，BE=1，求三棱锥C-ABE的体积．

Answer 1

分析 （I）由BM⊥平面ACE得BM⊥AE，结合AE⊥BE得出AE⊥平面BCE，故而AE⊥BC；
（II）V_C-ABE=V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AE$．

解答 证明：（Ⅰ）∵BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BM⊥AE，又AE⊥BE，BM∩BE=B，BM、BE?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE，又BC?平面BCE，
∴AE⊥BC．
（Ⅱ）因为△BCE是等边三角形，BE=1，
∴S_△BCE=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，
∴${V_{C-ABE}}={V_{A-BCE}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．