Question

在圆柱OO′中，△ABC是其下底面的内接正三角形，B₁、C₁是其上底面的两点，且B₁B⊥平面ABC，C₁C⊥平面ABC．已知AB=2，AB₁=4．
（1）求几何体ABB₁C₁C与圆柱OO'的体积之比；
（2）当点D是AC中点时，证明：AB₁∥平面BDC₁，并求二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由B₁B⊥平面ABC，AB?平面ABC，知B₁B⊥AB．在Rt△ABB₁中，AB=2，AB₁=4，故BB1=2

3

，作AM⊥BC于M，在正△ABC中，AM=

3

，底面半径r=

2

3

AM=

2 3

3

，VOO′=πr2×BB1=

8 3

3

π，vABB1C1C=

1

3

BC×BB1×AM=4，由此能求出几何体ABB₁C₁C与圆柱OO'的体积之比．
（2）连接B₁C交BC₁于点E，连接DE．于是E为B₁C的中点，而D为AC中点，DE∥AB₁，由此能够证明AB∥平面BDC₁．以B为原点，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，则

BC1

=(0，2，2

3

)，

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)，得到平面BDC₁的法向量，

n1

=(3，-

3

，1)，平面BCC₁的法向量

n2

=(1，0，0)，由此能求出二面角D-BC₁-C的余弦值．

解答：解：（1）∵B₁B⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴B₁B⊥AB．
在Rt△ABB₁中，AB=2，AB₁=4，
∴BB1=2

3

，
作AM⊥BC于M，
在正△ABC中，AM=

3

，
∴底面半径r=

2

3

AM=

2 3

3

，VOO′=πr2×BB1=

8 3

3

π，
∵vABB1C1C=

1

3

BC×BB1×AM=4，
∴几何体ABB₁C₁C与圆柱OO'的体积之比：

VABB1C1C

VOO’

=

4

8 3 3 π

=

3

2π

．
（2）连接B₁C交BC₁于点E，连接DE．
于是E为B₁C的中点，
而D为AC中点，
∴DE是△AB₁C的中位线，
∴DE∥AB₁，
∵DE?平面BDC₁，AB?平面BDC₁，
∴AB∥平面BDC₁．
以B为原点，BC为y轴，BB₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），D（

3

2

，

3

2

，0），C1(0，2，2

3

)，
∴

BC1

=(0，2，2

3

)，

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)，
设

n1

=(x，y，z)为平面BDC₁的法向量，
则

BC1 •  n1 =0 BD • n1 =0

，∴

y+ 3 z=0 x+ 3 y=0

∴

n1

=(3，-

3

，1)，
∵平面BCC₁的法向量

n2

=(1，0，0)，
设二面角D-BC₁-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

13 ×1

=

3 13

13

．

点评：本题考查立体几何的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．